Primeiro de tudo, a resposta é não. Mas para explicar direito, vale desfazer a confusão, e para isso entender melhor o que é uma coisa e o que é a outra...
O nome "anemia", por si só, não é uma doença específica, mas um quadro em que a ocorre uma redução das células vermelhas, quer seja por conta de uma alteração na produção, perda delas, por exemplo por um sangramento, ou aumento da destruição delas pelo corpo. Com isso, ocorre uma redução da oxigenação dos nossos órgãos e tecidos, com sintomas de cansaço, sonolência, tonturas e outros sintomas.
Quando nos referimos a leucemia, estamos descrevendo um grupo de doenças onco-hematológicas que podem ocorrer nos seus vários subtipos em homens e mulheres, adultos e crianças. Leucemia não se "pega", e ocorre por uma alteração no processo de desenvolvimento das células do sangue, por mutações nas células geradoras do sangue, que passam então a se multiplicar de maneira descontrolada, e circular no sangue em formas "jovens" que geralmente só existem na medula óssea.
Quando ocorre uma leucemia, a infiltração dessas células imaturas na medula óssea causa a redução da produção das células que são produzidas ali para as suas funções normais, ou seja, dos glóbulos vermelhos, dos glóbulos brancos e das plaquetas. Ou seja, a leucemia pode ter como um dos seus "sintomas" a anemia, pela diminuição de produção das células vermelhas, um aumento de risco de infecções, advindo da redução da produção de glóbulos brancos efetivos, e aumento de sangramentos e hematomas, pela redução na produção das plaquetas.
Trocando em miúdos: Anemia vira leucemia? A resposta é não. Anemia é uma redução do número de glóbulos vermelhos, com vários sintomas que a acompanham, e que pode ter várias causas diferentes. Leucemia é um grupo de doenças onco-hematológicas que podem ter vários sintomas, inclusive uma redução no número de células vermelhas, ou seja, uma anemia.
De onde vem essa história? Pode ser de várias questões... Por exemplo, de ambas serem doenças hematológicas, da semelhança sonora, por terminarem ambas as palavras em "emia" ou mesmo do fato de que pacientes com quadros graves de leucemia costumam ter anemia de maneira bem marcada.
É isso, e espero ter ajudado a desfazer essa confusão que algumas pessoas às vezes fazem.